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<title>Lógica modal</title>
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<div id="wx_article">
<wx:section level="1" title="Lógica modal" id="wxsec1"><h1 class="pagetitle" id="wx1">Lógica modal</h1>

<p id="wx2">A <i id="wx3">Lógica Modal</i> é bastante utilizada na <a href="/wpt/An%C3%A1lise_sem%C3%A2ntica" title="Análise semântica" wx:linktype="known" wx:pagename="Análise_semântica" wx:page_id="43298" id="wx4">análise semântica</a>, visto que as representações dos <a href="/wpt/Conectivos" class="new" title="Conectivos" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Conectivos" id="wx5">conectivos</a> modais permitem expressar <a href="/wpt/Adv%C3%A9rbios" class="new" title="Advérbios" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Advérbios" id="wx6">advérbios</a>, dentre os quais a <i id="wx7"><a href="/wpt/L%C3%B3gica_Cl%C3%A1ssica" class="new" title="Lógica Clássica" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Lógica_Clássica" id="wx8">Lógica Clássica</a></i> não pode representar. Uma compreensão da <i id="wx9">Lógica Modal</i> é particularmente valiosa na <a href="/wpt/An%C3%A1lise_formal" title="Análise formal" wx:linktype="known" wx:pagename="Análise_formal" wx:page_id="1585123" id="wx10">análise formal</a> de argumento filosófico onde expressões da família modal são comuns e confusas. Trata-se da <a href="/wpt/L%C3%B3gica" title="Lógica" wx:linktype="known" wx:pagename="Lógica" wx:page_id="1169" id="wx11">lógica</a> do "é necessário que" (representado por "[]") e do é "possível que" (representado por "&lt;&gt;"). Portanto, não considera apenas a <a href="/wpt/Veracidade" class="new" title="Veracidade" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Veracidade" id="wx12">veracidade</a> e a <a href="/wpt/Falsidade" title="Falsidade" wx:linktype="known" wx:pagename="Falsidade" wx:page_id="1647541" id="wx13">falsidade</a> das <a href="/wpt/Proposi%C3%A7%C3%B5es" class="new" title="Proposições" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Proposições" id="wx14">proposições</a> como se apresentam, mas como seria se fossem diferentes. Permite analisar não só o que dizem as coisas no mundo, mas o que diriam em um mundo alternativo; não factual, mas possível. Isto é, se interessa pelas verdades e falsidades que são geradas por <a href="/wpt/Asser%C3%A7%C3%B5es" class="new" title="Asserções" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Asserções" id="wx15">asserções</a> neste mundo real e em outros possíveis mundos, visto que se chama de mundo possível uma situação <a href="/wpt/Contrafatual" title="Contrafatual" wx:linktype="known" wx:pagename="Contrafatual" wx:page_id="262634" id="wx16">contrafatual</a> que não aconteceu mas poderia ter acontecido. Neste sentido, uma proposição será necessária em um mundo se ela é verdadeira em todo os possíveis mundos relacionados com este, e possível em um mundo se essa é verdadeira em pelo menos um daqueles mundos relacionados a este.</p>

<p id="wx17">A <i id="wx18">Lógica Modal</i> está no coração da pesquisa atual em diversas áreas da <a href="/wpt/Ci%C3%AAncia_da_computa%C3%A7%C3%A3o" title="Ciência da computação" wx:linktype="known" wx:pagename="Ciência_da_computação" wx:page_id="2683" id="wx19">ciência da computação</a>. Encontraram sérias aplicações em <a href="/wpt/Intelig%C3%AAncia_artificial" title="Inteligência artificial" wx:linktype="known" wx:pagename="Inteligência_artificial" wx:page_id="12722" id="wx20">inteligência artificial</a>, <a href="/wpt/Representa%C3%A7%C3%A3o_do_conhecimento" title="Representação do conhecimento" wx:linktype="known" wx:pagename="Representação_do_conhecimento" wx:page_id="542197" id="wx21">representação do conhecimento</a> e <a href="/wpt/Dedu%C3%A7%C3%A3o_autom%C3%A1tica" class="new" title="Dedução automática" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Dedução_automática" id="wx22">dedução automática</a>, <a href="/wpt/Especifica%C3%A7%C3%A3o_formal_de_sistemas" class="new" title="Especificação formal de sistemas" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Especificação_formal_de_sistemas" id="wx23">especificação formal de sistemas</a>, <a href="/wpt/Engenharia_de_software" title="Engenharia de software" wx:linktype="known" wx:pagename="Engenharia_de_software" wx:page_id="803" id="wx24">engenharia de software</a>, <a href="/wpt/Lingu%C3%ADstica_computacional" title="Linguística computacional" wx:linktype="known" wx:pagename="Linguística_computacional" wx:page_id="1564585" id="wx25">linguística computacional</a>.</p>

<p id="wx26">A <i id="wx27">Lógica Modal</i> pode ser encarada como uma <b id="wx28">extensão</b> da <i id="wx29">Lógica Proposicional</i>. Grande parte das lógicas modais tiveram origem em uma lógica "fraca", conhecida como <i id="wx30"><a href="/wpt/L%C3%B3gica_K" class="new" title="Lógica K" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Lógica_K" id="wx31">Lógica K</a></i>, que leva este nome em homenagem a <b id="wx32"><a href="/wpt/Saul_Kripke" title="Saul Kripke" wx:linktype="known" wx:pagename="Saul_Kripke" wx:page_id="187973" id="wx33">Saul Kripke</a></b> por sua contribuição. Um <i id="wx34"><a href="/wpt/Modelo_de_Kripke" class="new" title="Modelo de Kripke" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Modelo_de_Kripke" id="wx35">modelo de Kripke</a></i> é uma tripla <i id="wx36">m</i> = &lt;<i id="wx37">W<sub id="wx38">m</sub>,R<sub id="wx39">m</sub>,h<sub id="wx40">m</sub></i>&gt; tal que:</p>

<ul id="wx41">
<li id="wx42"><i id="wx43">W<sub id="wx44">m</sub></i>
<p id="wx45">é um <a href="/wpt/Conjunto" title="Conjunto" wx:linktype="known" wx:pagename="Conjunto" wx:page_id="9704" id="wx46">conjunto</a> não vazio dos mundos possíveis de <i id="wx47">m</i>;</p>
</li>

<li id="wx48"><i id="wx49">R<sub id="wx50">m</sub></i>
<p id="wx51">⊆ <i id="wx52">W<sub id="wx53">m</sub></i> x <i id="wx54">W<sub id="wx55">m</sub></i> representa a <a href="/wpt/Rela%C3%A7%C3%A3o" title="Relação" wx:linktype="known" wx:pagename="Relação" wx:page_id="455577" id="wx56">relação</a> de acessibilidade de <i id="wx57">m</i>;</p>
</li>

<li id="wx58"><i id="wx59">h<sub id="wx60">m</sub></i>
<p id="wx61"> : ν → ρ(<i id="wx62">W<sub id="wx63">m</sub></i>) é uma <a href="/wpt/Fun%C3%A7%C3%A3o" title="Função" wx:linktype="known" wx:pagename="Função" wx:page_id="884" id="wx64">função</a> que estabelece um <a href="/wpt/Valor_de_verdade" title="Valor de verdade" wx:linktype="known" wx:pagename="Valor_de_verdade" wx:page_id="1125852" id="wx65">valor de verdade</a> arbitrário para cada <a href="/wpt/F%C3%B3rmula_at%C3%B4mica" title="Fórmula atômica" wx:linktype="known" wx:pagename="Fórmula_atômica" wx:page_id="1123345" id="wx66">fórmula atômica</a> da <a href="/wpt/Linguagem" title="Linguagem" wx:linktype="known" wx:pagename="Linguagem" wx:page_id="30071" id="wx67">linguagem</a> e um valor para cada <a href="/wpt/F%C3%B3rmula_molecular" title="Fórmula molecular" wx:linktype="known" wx:pagename="Fórmula_molecular" wx:page_id="381934" id="wx68">fórmula molecular</a> em vista dos valores das fórmulas atômicas.</p>
</li>
</ul>

<p id="wx69">Uma <i id="wx70"><a href="/wpt/Sem%C3%A2ntica_de_Kripke" class="new" title="Semântica de Kripke" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Semântica_de_Kripke" id="wx71">semântica de Kripke</a></i>, ou <i id="wx72">sistema modal</i>, é uma classe <i id="wx73">Kr</i> de modelos de Kripke. O <i id="wx74">sistema K</i> é o menor dos <a href="/wpt/Sistemas_modais" class="new" title="Sistemas modais" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Sistemas_modais" id="wx75">sistemas modais</a> normais, isto é, a interseção de todos os sistemas modais normais, justificado pelos seguintes princípios: se trata de um sistema de lógica modal, visto que se trata de um conjunto de <a href="/wpt/Axiomas" title="Axiomas" wx:linktype="known" wx:pagename="Axiomas" wx:page_id="122194" id="wx76">axiomas</a> e <a href="/wpt/Regras_de_infer%C3%AAncia" class="new" title="Regras de inferência" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Regras_de_inferência" id="wx77">regras de inferência</a> que representam formalmente o raciocínio válido; é fechado para <a href="/wpt/Modus_ponens" title="Modus ponens" wx:linktype="known" wx:pagename="Modus_ponens" wx:page_id="165396" id="wx78">modus ponens</a> e necessitação, isto é, se A é uma tese então []A é uma tese; contém os axiomas K e Df&lt;&gt;:</p>

<ul id="wx79">
<li id="wx80">
<p id="wx81">K: ([](A → B)) \rightarrow (([]A) \rightarrow ([]B));</p>
</li>

<li id="wx82">
<p id="wx83">Df&lt;&gt;: (&lt;&gt;A) ↔ (¬([]¬A));</p>
</li>
</ul>

<p id="wx84">Uma <i id="wx85">assinatura</i> é uma família <i id="wx86">C</i> = <i id="wx87">{C<sub id="wx88">n</sub>}<sub id="wx89">{n∈N}</sub></i> tal que cada <i id="wx90">C<sub id="wx91">n</sub></i> é um conjunto, sendo que <i id="wx92">C<sub id="wx93">n</sub></i> ∩ <i id="wx94">C<sub id="wx95">m</sub></i> = ø se n ≠ m. Os elementos do conjunto <i id="wx96">C<sub id="wx97">n</sub></i> são chamados <i id="wx98">conectivos n-ários</i>. Em particular, os elementos de <i id="wx99">C<sub id="wx100">0</sub></i> são chamados <i id="wx101">constantes</i>. O <i id="wx102">domínio</i> de <i id="wx103">C</i> é o conjunto</p>

<center id="wx104">
<p id="wx105">|<i id="wx106">C</i>| = ∪{<i id="wx107">C<sub id="wx108">n</sub></i> : <i id="wx109">C<sub id="wx110">n</sub> ∈ N</i> }</p>
</center>

<p id="wx111">Uma <i id="wx112"><a href="/wpt/Assinatura_modal" class="new" title="Assinatura modal" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Assinatura_modal" id="wx113">assinatura modal</a></i> é uma assinatura <i id="wx114">C</i> tal que <i id="wx115">C<sub id="wx116">1</sub></i> = {¬,&lt;&gt;,[],}; <i id="wx117">C<sub id="wx118">2</sub></i> = {→,↔,∧,∨}; <i id="wx119">C<sub id="wx120">n</sub></i> = ø se <i id="wx121">n</i> ≠ 1, <i id="wx122">n</i> ≠ 2.</p>

<p id="wx123">Seja <i id="wx124">C</i> uma assinatura modal e seja <i id="wx125">Kr</i> uma semântica de Kripke. Define-se a <a href="/wpt/Rela%C3%A7%C3%A3o_de_conseq%C3%BC%C3%AAncia" class="new" title="Relação de conseqüência" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Relação_de_conseqüência" id="wx126">relação de conseqüência</a> |-<sub id="wx127">Kr</sub> em <i id="wx128">C</i> como segue:</p>

<ul id="wx129">
<li id="wx130">
<p id="wx131">Dado <i id="wx132">m</i> ∈ <i id="wx133">Kr</i> e <i id="wx134">w</i> ∈ <i id="wx135">W<sub id="wx136">m</sub></i>, <i id="wx137">m</i> satisfaz a fórmula φ no mundo <i id="wx138">w</i>, simbolizado por <i id="wx139">m</i> |-<sub id="wx140">w</sub> φ, se φ ∈ ν. <i id="wx141">m</i> ||-<sub id="wx142">w</sub> φ sse <i id="wx143">w</i> ∈ <i id="wx144">h<sub id="wx145">m</sub></i>(φ) e se φ = []Ψ então <i id="wx146">m</i> ||-<sub id="wx147">w</sub> φ sse, para todo <i id="wx148">w</i>´ ∈ <i id="wx149">W<sub id="wx150">m</sub></i> tal que <i id="wx151">w</i> <i id="wx152">R<sub id="wx153">m</sub></i> <i id="wx154">w</i>´, vale que <i id="wx155">m</i> ||-<sub id="wx156">w</sub> Ψ.</p>
</li>

<li id="wx157"><i id="wx158">m</i>
<p id="wx159">satisfaz φ, denotado por <i id="wx160">m</i> ||- φ, se <i id="wx161">m</i> ||-<sub id="wx162">w</sub> φ para todo mundo <i id="wx163">w</i> ∈ <i id="wx164">W<sub id="wx165">m</sub></i>.</p>
</li>

<li id="wx166">
<p id="wx167">Define-se a relação de conseqüência |-<sub id="wx168">Kr</sub> ⊆ ρ(<i id="wx169">L</i>(<i id="wx170">C</i>)) x <i id="wx171">L</i>(<i id="wx172">C</i>) por: dado Γ ∪ {φ} ⊆ <i id="wx173">L</i>(<i id="wx174">C</i>) então φ é uma conseqüência de Γ com relação a <i id="wx175">Kr</i> (denotado por Γ |-<sub id="wx176">Kr</sub> φ) se, para todo modelo <i id="wx177">m</i> ∈ <i id="wx178">Kr</i> tal que <i id="wx179">m</i> ||- γ (para todo γ ∈ Γ), vale <i id="wx180">m</i> ||- φ.</p>
</li>
</ul>

<p id="wx181"><br id="wx182"/>
É importante observar que a relação de conseqüência de uma lógica modal pode ser obtida a partir de diferentes semânticas de Kripke: por exemplo, a <a href="/wpt/L%C3%B3gica_modal_S5" class="new" title="Lógica modal S5" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Lógica_modal_S5" id="wx183">lógica modal S5</a> pode ser obtida através da semântica de Kripke que cada relação <i id="wx184">R<sub id="wx185">m</sub></i> é uma relação de equivalência ou através da semântica em que as relações <i id="wx186">R<sub id="wx187">m</sub></i> são arbitrárias. Uma lógica modal é uma lógica L = &lt;CL,|-<sub id="wx188">L</sub>&gt;, tal que CL é uma assinatura modal e L = |-<sub id="wx189">Kr</sub>, para alguma semântica de Kripke <i id="wx190">Kr</i>. O <a href="/wpt/Sistema_S4" class="new" title="Sistema S4" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Sistema_S4" id="wx191">sistema S4</a> (ou <a href="/wpt/KT4" class="new" title="KT4" wx:linktype="unknown" wx:pagename="KT4" id="wx192">KT4</a>) pode, então, ser definido como uma extensão de <i id="wx193">K</i>, com a inclusão das relações de <a href="/wpt/Reflexividade" class="new" title="Reflexividade" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Reflexividade" id="wx194">reflexividade</a> e <a href="/wpt/Transitividade" class="new" title="Transitividade" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Transitividade" id="wx195">transitividade</a>. No sistema axiomático, significa incluir o axioma <i id="wx196">X</i>: ([]A → [][]A) e o axioma <i id="wx197">T</i>: ([]A → A).</p>

<a id="Aplica.C3.A7.C3.B5es" name="Aplica.C3.A7.C3.B5es"/>
<wx:section level="2" title="Aplicações" id="wxsec2"><h2 id="wx198">Aplicações</h2>

<ul id="wx199">
<li id="wx200">
<p id="wx201">Solução de problemas de <a href="/wpt/Senten%C3%A7as_proposicionais" class="new" title="Sentenças proposicionais" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Sentenças_proposicionais" id="wx202">sentenças proposicionais</a></p>
</li>

<li id="wx203">
<p id="wx204">Análise formal de argumento filosófico</p>
</li>

<li id="wx205">
<p id="wx206">Estudo da <a href="/wpt/Intelig%C3%AAncia_artificial" title="Inteligência artificial" wx:linktype="known" wx:pagename="Inteligência_artificial" wx:page_id="12722" id="wx207">inteligência artificial</a></p>
</li>
</ul>

<a id="Principais_contribuidores_da_l.C3.B3gica_modal" name="Principais_contribuidores_da_l.C3.B3gica_modal"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Principais contribuidores da lógica modal" id="wxsec3"><h2 id="wx208">Principais contribuidores da lógica modal</h2>

<ul id="wx209">
<li id="wx210"><a href="/wpt/Clarence_Irving_Lewis" class="new" title="Clarence Irving Lewis" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Clarence_Irving_Lewis" id="wx211">Clarence Irving Lewis</a>
<p id="wx212">- em <a href="/wpt/1912" title="1912" wx:linktype="known" wx:pagename="1912" wx:page_id="2002" id="wx213">1912</a> deu origem a lógica moderna, composta pelas três tradições: <a href="/wpt/Sem%C3%A2ntica" title="Semântica" wx:linktype="known" wx:pagename="Semântica" wx:page_id="1768" id="wx214">semântica</a>, <a href="/wpt/Alg%C3%A9brica" class="new" title="Algébrica" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Algébrica" id="wx215">algébrica</a> e <a href="/wpt/Sint%C3%A1tica" class="new" title="Sintática" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Sintática" id="wx216">sintática</a>.</p>
</li>
</ul>

<ul id="wx217">
<li id="wx218"><a href="/wpt/Saul_Aaron_Kripke" class="new" title="Saul Aaron Kripke" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Saul_Aaron_Kripke" id="wx219">Saul Aaron Kripke</a>
<p id="wx220">- amplamente conhecido como um dos mais importantes filósofos vivos. Publicou <i id="wx221">Semantical Considerations on Modal Logic</i> em <a href="/wpt/1963" title="1963" wx:linktype="known" wx:pagename="1963" wx:page_id="11499" id="wx222">1963</a>, onde propôs uma resposta a uma dificuldade da <a href="/wpt/Teoria_cl%C3%A1ssica_da_quantifica%C3%A7%C3%A3o" class="new" title="Teoria clássica da quantificação" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Teoria_clássica_da_quantificação" id="wx223">teoria clássica da quantificação</a>.</p>
</li>
</ul>

<ul id="wx224">
<li id="wx225"><a href="/wpt/Amir_Pnueli" class="new" title="Amir Pnueli" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Amir_Pnueli" id="wx226">Amir Pnueli</a>
<p id="wx227">- primeiro utilizador da <a href="/wpt/L%C3%B3gica_temporal" class="new" title="Lógica temporal" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Lógica_temporal" id="wx228">lógica temporal</a>.</p>
</li>
</ul>

<ul id="wx229">
<li id="wx230"><a href="/wpt/Vaughan_Ronald_Pratt" class="new" title="Vaughan Ronald Pratt" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Vaughan_Ronald_Pratt" id="wx231">Vaughan Ronald Pratt</a>
<p id="wx232">- desenvolvedor do sistema de <a href="/wpt/L%C3%B3gica_din%C3%A2mica" class="new" title="Lógica dinâmica" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Lógica_dinâmica" id="wx233">lógica dinâmica</a></p>
</li>
</ul>

<ul id="wx234">
<li id="wx235"><a href="/wpt/Arthur_Norman_Prior" class="new" title="Arthur Norman Prior" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Arthur_Norman_Prior" id="wx236">Arthur Norman Prior</a>
<p id="wx237">- fundou a <a href="/wpt/L%C3%B3gica_temporal" class="new" title="Lógica temporal" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Lógica_temporal" id="wx238">lógica temporal</a> e contribuiu com a <a href="/wpt/L%C3%B3gica_intencional" class="new" title="Lógica intencional" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Lógica_intencional" id="wx239">lógica intencional</a>.</p>
</li>
</ul>

<a id="Liga.C3.A7.C3.B5es_externas" name="Liga.C3.A7.C3.B5es_externas"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Ligações externas" id="wxsec4"><h2 id="wx240"><wx:template id="wx_t1" pagename="Predefinição:Ligações_externas" page_id="62491"/>Ligações externas<wx:templateend start="wx_t1"/></h2>

<ul id="wx241">
<li id="wx242"><a href="http://www.geocities.com/logicfuzby/modal.htm" class="external text" wx:linktype="external" rel="nofollow" id="wx243">PUC-PR - Lógica modal</a></li>
</ul>

<ul id="wx244">
<li id="wx245"><a href="http://www.ufsj.edu.br/Pagina/resenhas/Arquivos/kony.pdf" class="external text" wx:linktype="external" rel="nofollow" id="wx246">KONYNDYK, KENNETH - Introductory modal logic. (.PDF)</a></li>
</ul>

<ul id="wx247">
<li id="wx248"><a href="http://www.fcsh.unl.pt/estatuto-do-singular/Apresentacao_OEstatutodo_Individual%C2%BBnaLogicaTemporal_RICI.doc" class="external text" wx:linktype="external" rel="nofollow" id="wx249">O Estatuto do ‘Individual’ na Lógica Temporal (.DOC)</a></li>
</ul>

<wx:template id="wx_t2" pagename="Predefinição:Esboço-matemática" page_id="58499"/>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background-color: white; border: 1px solid #ccc; padding: 5px; font-size:85%;" class="noprint" id="wx250">
<tr id="wx251">
<td id="wx252"><a href="/wpt/Imagem:Nuvola_apps_edu_mathematics.png" title="" wx:linktype="image" wx:pagename="Imagem:Nuvola_apps_edu_mathematics.png" id="wx253"><img src="/wpt/Imagem:Nuvola_apps_edu_mathematics.png" alt="" width="25" id="wx254"/></a> </td>
<td id="wx255">
<p id="wx256">  <i id="wx257">Este artigo é um <a href="/wpt/Wikipedia:Esbo%C3%A7o" title="Wikipedia:Esboço" wx:linktype="known" wx:pagename="Wikipedia:Esboço" id="wx258">esboço</a> sobre <b id="wx259"><a href="/wpt/Matem%C3%A1tica" title="Matemática" wx:linktype="known" wx:pagename="Matemática" wx:page_id="1210" id="wx260">Matemática</a></b>. Pode ajudar a Wikipédia <span class="plainlinks" id="wx261"><a href="http://wpt/wpt/index.php?title=L%C3%B3gica_modal&amp;action=edit" class="external text" wx:linktype="external" rel="nofollow" id="wx262">expandindo-o</a></span>.</i></p>
</td>
</tr>
</table>

<wx:templateend start="wx_t2"/>
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