<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xmlns:wx="http://ilps.science.uva.nl/WikiXML/wx" xml:lang="pt" lang="pt">
<head>
<title>Entscheidungsproblem</title>
<meta name="wx_namespace" content="0"/>
<meta name="wx_pagename" content="Entscheidungsproblem"/>
<meta name="wx_page_id" content="67300"/>
</head>
<body>
<div id="wx_article">
<wx:section level="1" title="Entscheidungsproblem" id="wxsec1"><h1 class="pagetitle" id="wx1">Entscheidungsproblem</h1>

<p id="wx2">O <b id="wx3">Entscheidungsproblem</b> (termo alemão para "problema de decisão") é um problema da <a href="/wpt/L%C3%B3gica" title="Lógica" wx:linktype="known" wx:pagename="Lógica" wx:page_id="1169" id="wx4">lógica</a> simbólica que consiste em achar um <a href="/wpt/Algoritmo" title="Algoritmo" wx:linktype="known" wx:pagename="Algoritmo" wx:page_id="257" id="wx5">algoritmo</a> genérico para determinar se um dado enunciado da <a href="/wpt/L%C3%B3gica_de_primeira_ordem" title="Lógica de primeira ordem" wx:linktype="known" wx:pagename="Lógica_de_primeira_ordem" wx:page_id="660396" id="wx6">lógica de primeira ordem</a> pode ser provado. Em <a href="/wpt/1936" title="1936" wx:linktype="known" wx:pagename="1936" wx:page_id="11660" id="wx7">1936</a>, trabalhando independentemente, <a href="/wpt/Alonzo_Church" title="Alonzo Church" wx:linktype="known" wx:pagename="Alonzo_Church" wx:page_id="26210" id="wx8">Alonzo Church</a> e <a href="/wpt/Alan_Turing" title="Alan Turing" wx:linktype="known" wx:pagename="Alan_Turing" wx:page_id="26201" id="wx9">Alan Turing</a> mostraram que é impossível decidir algoritmicamente se um enunciado na aritmética é verdadeiro ou falso.</p>

<p id="wx10">A questão retoma a <a href="/wpt/Gottfried_Leibniz" title="Gottfried Leibniz" wx:linktype="known" wx:pagename="Gottfried_Leibniz" wx:page_id="20059" id="wx11">Gottfried Leibniz</a>, que no século XVII, depois de construir uma máquina de calcular mecânica, sonhou em construir uma máquina que pudesse manipular símbolos a fim de determinar os valores de verdade dos enunciados matemáticos. Ele percebeu que o primeiro passo teria que ser uma linguagem formal precisa, e muito do seu trabalho subsequente foi nesse sentido. Em 1928, <a href="/wpt/David_Hilbert" title="David Hilbert" wx:linktype="known" wx:pagename="David_Hilbert" wx:page_id="51567" id="wx12">David Hilbert</a> e <a href="/wpt/Wilhelm_Ackermann" title="Wilhelm Ackermann" wx:linktype="known" wx:pagename="Wilhelm_Ackermann" wx:page_id="433985" id="wx13">Wilhelm Ackermann</a> propuseram tal questão da forma mostrada logo abaixo.</p>

<p id="wx14">Um enunciado de primeira ordem é chamado "universalmente válido" ou "logicamente válido" se segue dos axiomas do <a href="/wpt/C%C3%A1lculo_de_predicados" title="Cálculo de predicados" wx:linktype="known" wx:pagename="Cálculo_de_predicados" wx:page_id="201228" id="wx15">cálculo de predicados de primeira ordem</a>. O <a href="/wpt/Teorema_da_completude_de_G%C3%B6del" title="Teorema da completude de Gödel" wx:linktype="known" wx:pagename="Teorema_da_completude_de_Gödel" wx:page_id="668021" id="wx16">Teorema da completude de Gödel</a> indica que um enunciado é universalmente válido se, e somente se, é verdadeiro em toda interpretação num modelo.</p>

<p id="wx17">Na continuação do seu "programa" com o qual ele desafiou a comunidade matemática em 1900, na Conferência Internacional de 1928 David Hilber fez três questionamentos, ficando o terceiro conhecido como "O problema de decisão de Hilbert" ("Hilbert's Entscheidungsproblem") [Hodges p.91]. Em meados de 1930 ele acreditava que não existiria um problema insolúvel (Hodges p.92, citando Hilbert).</p>

<p id="wx18">Antes que a questão pudesse ser respondida, a noção de "algoritmo" tinha que ser formalmente definida. Isso foi feito por <a href="/wpt/Alonzo_Church" title="Alonzo Church" wx:linktype="known" wx:pagename="Alonzo_Church" wx:page_id="26210" id="wx19">Alonzo Church</a> em 1936 com o conceito de "calculabilidade efetiva", baseada no seu <a href="/wpt/C%C3%A1lculo_lambda" title="Cálculo lambda" wx:linktype="known" wx:pagename="Cálculo_lambda" wx:page_id="31846" id="wx20">cálculo λ</a> , e por <a href="/wpt/Alan_Turing" title="Alan Turing" wx:linktype="known" wx:pagename="Alan_Turing" wx:page_id="26201" id="wx21">Alan Turing</a>, no mesmo ano, com o seu conceito de <a href="/wpt/M%C3%A1quina_de_Turing" title="Máquina de Turing" wx:linktype="known" wx:pagename="Máquina_de_Turing" wx:page_id="31790" id="wx22">Máquinas de Turing</a>. As duas abordagens são equivalentes, uma instância da <a href="/wpt/Tese_de_Church-Turing" title="Tese de Church-Turing" wx:linktype="known" wx:pagename="Tese_de_Church-Turing" wx:page_id="67287" id="wx23">Tese de Church-Turing</a>.</p>

<p id="wx24">A resposta negativa ao <i id="wx25">Entscheidungsproblem</i> foi dada por Alonzo Church em 1936 e, logo em seguida, de forma independente, por Alan Turing, também em 1936. Church provou que não existe algoritmo (<a href="/wpt/Fun%C3%A7%C3%A3o_comput%C3%A1vel" class="new" title="Função computável" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Função_computável" id="wx26">função computável</a>) que decide para duas expressões do cálculo λ se elas são equivalentes ou não. Ele se baseou no trabalho anterior de <a href="/wpt/Stephen_Kleene" class="new" title="Stephen Kleene" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Stephen_Kleene" id="wx27">Stephen Kleene</a>. Turing reduziu o <a href="/wpt/Problema_da_parada" title="Problema da parada" wx:linktype="known" wx:pagename="Problema_da_parada" wx:page_id="396877" id="wx28">problema da parada</a> para as Máquinas de Turing ao Entscheidungsproblem, e o seu artigo é considerado muito mais influente do que o de Church. O trabalho de ambos autores foi muito influenciado por <a href="/wpt/Kurt_G%C3%B6del" title="Kurt Gödel" wx:linktype="known" wx:pagename="Kurt_Gödel" wx:page_id="1110" id="wx29">Kurt Gödel</a> e o seu teorema da completude, principalmente pela <a href="/wpt/Enumera%C3%A7%C3%A3o_de_G%C3%B6del" title="Enumeração de Gödel" wx:linktype="known" wx:pagename="Enumeração_de_Gödel" wx:page_id="667912" id="wx30">enumeração de Gödel</a> para fórmulas lógicas a fim de reduzir a lógica a aritmética.</p>

<p id="wx31">A seguir o argumento de Turing. Suponha que temos um algoritmo de decisão genérico para a <a href="/wpt/L%C3%B3gica_de_primeira_ordem" title="Lógica de primeira ordem" wx:linktype="known" wx:pagename="Lógica_de_primeira_ordem" wx:page_id="660396" id="wx32">lógica de primeira ordem</a>. A questão se uma determinada Máquina de Turing pára ou não pode ser formulada como um enunciado de primeira ordem, o qual seria suscetível ao algoritmo de decisão. Mas Turing provou anteriormente que nenhum algoritmo genérico pode decidir se uma determinada Máquina de Turing pára.</p>

<p id="wx33">O Entscheidungsproblem é relacionado ao "<a href="/wpt/Problemas_de_Hilbert" title="Problemas de Hilbert" wx:linktype="known" wx:pagename="Problemas_de_Hilbert" wx:page_id="51596" id="wx34">Décimo problema de Hilbert</a>", que pede a um <a href="/wpt/Algoritmo" title="Algoritmo" wx:linktype="known" wx:pagename="Algoritmo" wx:page_id="257" id="wx35">algoritmo</a> decidir se uma <a href="/wpt/Equa%C3%A7%C3%A3o_diofantina" title="Equação diofantina" wx:linktype="known" wx:pagename="Equação_diofantina" wx:page_id="465713" id="wx36">equação diofantina</a> tem solução. A não-existência de tal algoritmo (provado por <a href="/wpt/Yuri_Matiyasevich" class="new" title="Yuri Matiyasevich" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Yuri_Matiyasevich" id="wx37">Yuri Matiyasevich</a> em 1970) implica numa resposta negativa ao Entscheidungsproblem. (veja <a href="/wpt/Teorema_de_Matiyasevich" title="Teorema de Matiyasevich" wx:linktype="known" wx:pagename="Teorema_de_Matiyasevich" wx:page_id="51559" id="wx38">Teorema de Matiyasevich</a>)</p>

<p id="wx39">É importante perceber que se nós nos restringirmos a uma teoria de primeira ordem específica com objetos específicos constantes, funções constantes, predicados constantes e axiomas subjetivos, a verdade dos enunciados nessa teoria pode muito bem ser algoritmicamente decidível. Exemplos disso incluem <a href="/wpt/Aritm%C3%A9tica_de_Presburger" class="new" title="Aritmética de Presburger" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Aritmética_de_Presburger" id="wx40">Aritmética de Presburger</a>, campos reais fechados e tipos de variáveis em linguagens de programação.</p>

<p id="wx41">Entretanto, a teoria de primeira ordem dos <a href="/wpt/N%C3%BAmeros_naturais" title="Números naturais" wx:linktype="known" wx:pagename="Números_naturais" wx:page_id="7741" id="wx42">números naturais</a> expressa nos <a href="/wpt/Axiomas_de_Peano" title="Axiomas de Peano" wx:linktype="known" wx:pagename="Axiomas_de_Peano" wx:page_id="336987" id="wx43">axiomas de Peano</a> não pode ser decidida por tal algoritmo. Isso segue do argumento de Turing mostrado acima.</p>

<a id="Refer.C3.AAncias" name="Refer.C3.AAncias"/>
<wx:section level="2" title="Referências" id="wxsec2"><h2 id="wx44">Referências</h2>

<ul id="wx45">
<li id="wx46">
<p id="wx47">Alonzo Church, "An unsolvable problem of <a href="/wpt/Elementary_number_theory" class="new" title="Elementary number theory" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Elementary_number_theory" id="wx48">elementary number theory</a>", American Journal of Mathematics, 58 (1936), pp 345 - 363</p>
</li>

<li id="wx49">
<p id="wx50">Alonzo Church, "A note on the Entscheidungsproblem", Journal of Symbolic Logic, 1 (1936), pp 40 - 41.</p>
</li>

<li id="wx51">
<p id="wx52">Alan Turing, "On <a href="/wpt/Computable_number" class="new" title="Computable number" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Computable_number" id="wx53">computable numbers</a>, with an application to the Entscheidungsproblem", Proceedings of the <a href="/wpt/London_Mathematical_Society" class="new" title="London Mathematical Society" wx:linktype="unknown" wx:pagename="London_Mathematical_Society" id="wx54">London Mathematical Society</a>, Series 2, 42 (1936), pp 230 - 265. <a href="http://www.abelard.org/turpap2/tp2-ie.asp" class="external text" wx:linktype="external" rel="nofollow" id="wx55">Online version</a>. Errata appeared in Series 2, 43 (1937), pp 544 - 546.</p>
</li>

<li id="wx56"><a href="/wpt/Martin_Davis" class="new" title="Martin Davis" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Martin_Davis" id="wx57">Martin Davis</a>
<p id="wx58">, "The Undecidable, Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable Functions", Raven Press, New York, 1965. Turing's paper is #3 in this volume. Papers include those by Godel, Church, Rosser, Kleene, and Post.</p>
</li>

<li id="wx59"><a href="/wpt/Andrew_Hodges" class="new" title="Andrew Hodges" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Andrew_Hodges" id="wx60">Andrew Hodges</a>
<p id="wx61">, Alan Turing: The Enigma, Simon and Schuster, New York, 1983. Allen M. Turing's biography. Cf Chapter "The Spirit of Truth" for a history leading to, and a discussion of, his proof.</p>
</li>

<li id="wx62"><a href="/wpt/Stephen_Toulmin" class="new" title="Stephen Toulmin" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Stephen_Toulmin" id="wx63">Toulmin, Stephen</a>
<p id="wx64">, "Fall of a Genius", a book review of "Alan Turing: The Enigma by Andrew Hodges", in The New York Review of Books, January 19, 1984, p. 3ff.</p>
</li>

<li id="wx65"><a href="/wpt/Alfred_North_Whitehead" title="Alfred North Whitehead" wx:linktype="known" wx:pagename="Alfred_North_Whitehead" wx:page_id="108432" id="wx66">Alfred North Whitehead</a>
<p id="wx67">and <a href="/wpt/Bertrand_Russel" title="Bertrand Russel" wx:linktype="known" wx:pagename="Bertrand_Russel" wx:page_id="12727" id="wx68">Bertrand Russel</a>, Principia Mathematica to *56, Cambridge at the University Press, 1962. Re: the problem of paradoxes, the authors discuss the problem of a set not be an object in any of its "determining functions", in particular "Introduction, Chap. 1 p. 24 "...difficulties which arise in formal logic", and Chap. 2.I. "The Vicious-Circle Principle" p.37ff, and Chap. 2.VIII. "The Contradictions" p.60 ff.</p>
</li>
</ul>

<p id="wx69"><wx:template id="wx_t1" pagename="Predefinição:Esboço" page_id="23909"/>
<br id="wx70"/>
</p>

<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background-color: white; border: 1px solid #ccc; padding: 5px; font-size:85%;" class="noprint" id="wx71">
<tr id="wx72">
<td id="wx73"><a href="/wpt/Imagem:Nuvola_apps_ksig.png" title="" wx:linktype="image" wx:pagename="Imagem:Nuvola_apps_ksig.png" id="wx74"><img src="/wpt/Imagem:Nuvola_apps_ksig.png" alt="" width="32" id="wx75"/></a> </td>
<td id="wx76"><span class="plainlinks" id="wx77"><i id="wx78">Este artigo é somente um <a href="/wpt/Wikipedia:Esbo%C3%A7o" title="Wikipedia:Esboço" wx:linktype="known" wx:pagename="Wikipedia:Esboço" id="wx79">esboço</a>. Você pode ajudar a Wikipédia <a href="http://wpt/wpt/index.php?title=Entscheidungsproblem&amp;action=edit" class="external text" wx:linktype="external" rel="nofollow" id="wx80">expandindo-o</a>.</i></span><br id="wx81"/>
<font color="#BBBBBB" id="wx82"><i id="wx83">Editor: considere marcar com um <a href="/wpt/Wikipedia:Namespace_predefini%C3%A7%C3%A3o/Avisos_e_alertas/Esbo%C3%A7os" title="Wikipedia:Namespace predefinição/Avisos e alertas/Esboços" wx:linktype="known" wx:pagename="Wikipedia:Namespace_predefinição/Avisos_e_alertas/Esboços" id="wx84"><font color="#999999" id="wx85">esboço mais específico</font></a>.</i></font> </td>
</tr>
</table>

<wx:templateend start="wx_t1"/>
</wx:section></wx:section></div>
<div id="wx_categorylinks">
<a href="/wpt/index.php?title=Especial:Categories&amp;article=Entscheidungsproblem" title="Especial:Categories" wx:linktype="known" wx:pagename="Especial:Categories" id="wx86">Categorias de páginas</a>: <span dir="ltr" id="wx87"><a href="/wpt/Categoria:%21Esbo%C3%A7os" title="Categoria:!Esboços" wx:linktype="known" wx:pagename="Categoria:!Esboços" wx:page_id="60300" id="wx88">!Esboços</a></span> | <span dir="ltr" id="wx89"><a href="/wpt/Categoria:L%C3%B3gica" title="Categoria:Lógica" wx:linktype="known" wx:pagename="Categoria:Lógica" wx:page_id="22410" id="wx90">Lógica</a></span></div>
<div id="wx_languagelinks">
Outras línguas: <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsproblem" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="ca:Entscheidungsproblem" id="wx91">Català</a> | <a href="http://cs.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsproblem" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="cs:Entscheidungsproblem" id="wx92">Česky</a> | <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsproblem" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="de:Entscheidungsproblem" id="wx93">Deutsch</a> | <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsproblem" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="en:Entscheidungsproblem" id="wx94">English</a> | <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsproblem" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="es:Entscheidungsproblem" id="wx95">Español</a> | <a href="http://hr.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsproblem" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="hr:Entscheidungsproblem" id="wx96">Hrvatski</a> | <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsproblem" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="it:Entscheidungsproblem" id="wx97">Italiano</a> | <a href="http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%80%A7" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="zh:可判定性" id="wx98">中文</a></div>
</body>
<wx:templatearguments for="wx_t1"><wx:argument name=""/></wx:templatearguments>
</html>
